CCN_600_5 单道 · 612 W · 1100 mm·min⁻¹ · 起草 2026-09-21 · 定稿 2026-09-23

Marangoni 力的构成与作用

0　范围与数据

本文讨论 CCN_600_5 单道（612 W、1100 mm·min⁻¹）DED 熔池中的 Marangoni 力：它的力学来源（第 1 节），在本项目表面张力表中的构成（第 2 节），在 VOF 模型中的实现（第 3 节），在仿真中对流动、冠道、熔合边界与成分分布的作用（第 4 节），以及硫、氧等元素对它的作用（第 5 节）和它对熔池形貌与流动的作用（第 6 节）在文献中的认识与本项目的对照。

用途	算例或数据	要点
生产算例	`med` 网格生产算例 `C_CCN_600_5_med_t250_pw_fmix_eta450_L76_r0707_sf070`	界面处网格 12 µm；η = 0.45，r₀ = 707 µm；0–250 ms 共 327 344 步，全部收敛，无发散与浮点异常；每 12.5 ms 存一份三维快照，共 20 份
对照算例	粗网格算例 `C_CCN_600_5_coarse_t050_pw_fmix_eta450_L36_r0707_dtp` 及其 `sconst`、`sin`、`g050` 三支	界面处网格 25 µm，0–50 ms；四支只在表面张力的设置上不同（4.4 节）
热毛细方腔算例	`M_thermocap_dz12`	界面处 dz = 12 µm，算 5 ms（1.4 节）
表面张力表	`02_物性/生成/props_tables.h` 中的 `LIQ_SIGMA`，md5 a2d1f8e9	med 算例打包所用的表与之逐字节相同

文中由本项目数据得出的数字，除注明取自其他记录者外，全部由 07_文档/推导/核算_Marangoni力_定稿数据.py 从原始数据现算，括号内注明对应的部分（如「脚本 C」）；切面涡量由 工具/核算_切面涡量的相干性.py 算出，迹线积分器为 工具/迹线_时变场积分.py。插图由 07_文档/推导/作图_Marangoni力的构成与作用.py 生成，存于 07_文档/图/marangoni/；示意图只表达方向与结构，数据图与对应表格同源。

med 算例有一项已知的数据问题：从未熔化的冷固体中，金属体积分数 $α$ 随时间缓慢下降，250 ms 时 $z < - 250$ µm 区域的金属体积比首帧少 0.27%，机制未明（VOF质量不守恒_排查记录）。本文的流场统计只取 liqf > 0.5 且 $α > 0.99$ 的液态金属格，不包含这些单元。

1　Marangoni 力的由来

1.1　表面张力是线张力

表面张力 $σ$ 作用在线上。在熔池自由面（熔体与保护气的分界）上任取一条线，线两侧的液面沿自由面相互拉扯，拉力沿自由面、垂直于该线，大小为 $σ$ 乘线长，所以 $σ$ 的量纲是 N/m。

自由面上一块面元 $S$ 所受的表面张力全部来自它的边界曲线 $\partial S$ ：

F = \oint_{\partial S} σ m d l

$m$ 是边界上的单位向量，沿自由面、垂直于边界、指向面元之外。

1.2　面力密度的两个分量

动量方程需要逐点的力密度。由曲面散度定理，边界上的线积分等于面上的积分：

\oint_{\partial S} σ m d l = \int_{S} (\nabla_{s} σ - σ (\nabla_{s} \cdot n) n) d A

$n$ 为自由面的单位法向量，约定指向气相； $\nabla_{s} = (I - nn) \cdot \nabla$ 为表面梯度，只保留沿自由面的两个方向。记 $κ = - \nabla_{s} \cdot n$ 为自由面的总曲率（两个主曲率之和）， $n$ 指向曲率中心时 $κ > 0$ 。被积函数即单位面积上的表面张力合力：

F_{σ} = 法向 σκ n + 切向 \nabla_{s} σ

对半径为 $R$ 的液滴， $n$ 朝外， $\nabla_{s} \cdot n = 2/ R$ ， $κ = - 2/ R$ ，法向分量 $σκ n$ 指向液滴中心，即表面张力把液滴向内箍紧。以 $σ$ 为常数、极角为 $θ$ 的球冠沿对称轴验算，线积分与面积分都等于 $- 2 πσ R sin^{2} θ$ 。

1.3　两个分量的来源与作用对象

法向分量 $σκ n$ 来自自由面的弯曲。 平的面元边界上各处的 $m$ 共面，绕一圈矢量和为零；弯曲的面元各处 $m$ 不共面，合力指向曲率中心，大小正比于曲率。这一项与 $σ$ 是否均匀无关。它把弯曲的自由面拉平，决定冠道（熔覆道高出基板的部分）的截面外形。

切向分量 $\nabla_{s} σ$ 来自 $σ$ 沿自由面的变化。 $σ$ 处处相等时，边界两侧的拉力相互抵消； $σ$ 沿面变化时，净合力沿自由面由 $σ$ 低处指向 $σ$ 高处，大小等于 $σ$ 的表面梯度。它在液面上施加剪应力，驱动熔体流动。这一项就是 Marangoni 力。

图 1　表面张力的两个分量（示意）。(a) $σ$ 处处相等时，弯曲面元边界上的线张力 $σ m$ 水平分量相消、竖直分量相加，合力 $σκ n$ 指向曲率中心；(b) 平的自由面上 $σ$ 沿面变化时，面元两端的线张力大小不等，合力 $\nabla_{s} σ$ 沿自由面指向 $σ$ 高处，并拖动其下的液体。

1.4　Marangoni 力是表面张力的切向分量

两个分量出自同一个线积分，Marangoni 力不是表面张力之外的另一种力。据此可构造两类只删去一项的对照：

$σ$ 取常数，切向项为零。 σ 常数对照算例（C_CCN_600_5_coarse_t050_pw_fmix_sconst_eta450_L36_r0707_dtp）把 $σ$ 固定为 1.607249 N/m，即表在 $f = 0.3232$ 、1911 K 处的值。它消去切向项，同时改变了法向项的大小：基准算例熔化自由面上的表值在 37.5 ms 与 50 ms 为 1.454–1.548 N/m，该常数比它高 4%–11%（脚本 I）。
自由面取平面，法向项为零。 热毛细方腔算例（M_thermocap_*）是一个矩形腔：下层液态金属（成分均匀， $f = 0.3232$ ），上层为气，中间一张平的自由面，两端壁温 1760 K 与 2160 K，沿面温度梯度 $8.0 \times 1 0^{5}$ K/m；激光与送粉关闭，腔内只有 Marangoni 驱动。

图 2　热毛细方腔（示意，不按比例）。自由面平直，法向分量为零，只剩切向分量； $d σ / d T > 0$ 的一段及其位置见 4.5 节。

2　 $\nabla_{s} σ$ 的构成

2.1　温度项与成分项

$σ$ 由自由面上各点的温度与成分决定。一般地， $σ$ 依赖于温度、基体成分与各表面活性元素（硫 S、氧 O 等）的活度。本项目的表面张力表把 S 与 O 的含量绑定在 CCN 占比 $f$ （CoCrNi 的质量分数）上：S $= 90 (1 - f)$ ppm，由基板带入并随稀释降低；O $= 420 f$ ppm，由粉末带入。于是模型中 $σ$ 只有两个自变量， $σ = σ (T (x), f (x))$ ，对位置求表面梯度得

\nabla_{s} σ = 热毛细应力 (\frac{\partial σ}{\partial T})_{f} \nabla_{s} T + 溶质应力 (\frac{\partial σ}{\partial f})_{T} \nabla_{s} f

硫与氧的作用分别进入两项：它们随温度的吸附与分配进入 $(\partial σ / \partial T)_{f}$ ，它们随 $f$ 的含量变化连同基体成分的变化进入 $(\partial σ / \partial f)_{T}$ 。在本模型中 S、O 不能独立于 $f$ 变化，自由面局部的失氧、基板硫在熔池内的不均匀分布都不在模型之内。

2.2　表面张力表 `LIQ_SIGMA`

表由 Thermo-Calc 以 TCFE15 数据库计算（任务 P17，2026-09-14）。元素为 Fe、C、Si、Mn、Cr、Mo、Co、Ni 与 S、O；成分取 $f = 0$ 、0.25、0.35、0.50、0.60、0.75、1.00 七档，温度 1700–2700 K，只取金属全熔（无 FCC、BCC、HCP、σ 相）的点。落表为 9 个 $f$ 档 × 41 个温度点（步长 25 K）： $f = 0.90$ 、0.95 两档由 0.75 与 1.00 两档线性插值； $f = 1.00$ 的含氧计算不收敛，该档取 $f = 0.75$ 处氧的相对作用（D20_液态物性表重建_含氧含硫且温度轴延到2700K）。UDF sigma_bead 按当地 $f$ （由 UDS 输运）与 $T$ 在表上双线性插值，出表钳位；med 算例自由面的温度为 1729–2264 K（125 ms），在表的温度范围之内。

S = 0.009 wt%（90 ppm）取自 AISI 4140 基板质保书，O = 420 ppm 取自粉末成分单。平衡计算中氧在熔体、氧化物与气相之间分配。以自由面的典型成分 $f = 0.50$ 为例（脚本 B）：溶解氧在 1750 K 为 63 ppm、1900 K 为 201 ppm，其余存在于尖晶石中；1920 K 时 210 ppm 全部溶解；1940 K 起计算中出现气相，溶解氧随温度下降，2000 K 为 166 ppm、2200 K 为 107 ppm。

$f = 0.3232$ （冠道名义成分）处的表值（脚本 A）：

$T$ / K	1750	1800	1850	1900	1950	2000	2200	2700
$σ$ / (N·m⁻¹)	1.6173	1.6045	1.5968	1.6065	1.6078	1.6029	1.5591	1.4212

1750–2200 K 之间 $σ$ 共降 0.058 N/m。其中 1850–1925 K 一段 $d σ / d T > 0$ ，其余温区为负；2100–2700 K 的斜率为 $- 2.7 \times 1 0^{- 4}$ N/(m·K)。
各 $f$ 档 $d σ / d T > 0$ 的温区： $f = 0$ 没有；0.25 为 1825–1900 K；0.35 为 1850–1950 K；0.50 及以上为 1900–2000 K；区间内 $σ$ 回升 0.5%–0.9%。这些温区随溶解氧由升转降的温度移动（含氧计算中 $f = 0.25$ 、0.35、0.50 分别在 1850、1900、1940 K 出现气相）；无氧计算在所有全熔点上 $d σ / d T < 0$ （D26_现行σ表有一条真实的向内分支_由氧造成）。
$(\partial σ / \partial f)_{T}$ 在 $f = 0.25$ –0.35 之间为 −0.58（1800 K）、−0.69（1900 K）、−0.61（2000 K）、−0.54 N/m（2200 K）。 $σ$ 对 $f$ 非单调，1900 K 时最低点在 $f = 0.75$ （1.420 N/m）。

图 3　表面张力表 LIQ_SIGMA。左：各 $f$ 档的 $σ$ 随温度，红色加粗段为 $d σ / d T > 0$ 的温区；右：四个温度下 $σ$ 随 $f$ 。数据与本节的表同源（脚本 A）。

2.3　表的外部核对

基板端 $f = 0$ （4140，S 90 ppm，无氧）：1809 K 时 $σ = 1.851$ N/m，1800–2700 K 的斜率为 $- 4.30 \times 1 0^{- 4}$ N/(m·K)（脚本 A）。Sahoo 等给纯铁 $σ_{m}^{\circ} = 1.943$ N/m（1809 K）、 $A = 4.3 \times 1 0^{- 4}$ N/(m·K)¹。斜率与纯铁相同， $σ$ 比纯铁低 4.7%。
粉末端 $f = 1$ （CoCrNi，P17 无氧计算）：1873 K 时 $σ = 1.701$ N/m，斜率 $- 2.87 \times 1 0^{- 4}$ N/(m·K)（脚本 A）。Costa 等以 Butler 模型评估液态 Co–Cr–Ni 在 1873 K 的 $σ$ 为 1.74–1.83 N/m（不含氧），并指出该体系没有实测数据²；表值比该区间下沿低 2.3%。
硫与氧在表中的作用强度与二元 Sahoo 式的对照见 5.2、5.3 节。

3　Marangoni 力在 VOF 模型中的实现

3.1　弥散界面与连续表面力

VOF 方法不跟踪零厚度的自由面，而是在每个网格中存金属体积分数 $α$ （0 为气，1 为金属）；自由面是一层 $0 < α < 1$ 的网格，厚一到两格，称为弥散界面。连续表面力（CSF）模型³把面力乘以界面面积密度 $∣\nabla α ∣$ （单位 1/m），变为作用在这层网格上的体积力：

f_{σ} = (σκ n + \nabla_{s} σ) ∣\nabla α ∣

$∣\nabla α ∣$ 只在界面层内非零，沿法向的积分为 1，所以体积力沿法向积分后恰为面力。

图 4　弥散界面与连续表面力（示意）。 $α$ 在一到两格内由 1 降到 0， $∣\nabla α ∣$ 集中在这一层，沿法向积分为 1；面力乘以 $∣\nabla α ∣$ 成为分布在这一层网格上的体积力。

3.2　给求解器的是 $σ (f, T)$

本项目把表面张力系数挂为 UDF：

/define/phases/set-domain-properties/interaction-domain/forces/surface-tension/sfc-tension-coeff yes user-defined "sigma_bead::libudf"

求解器由逐格的 $σ$ 场求 $\nabla_{s} σ$ ，温度与成分引起的变化一次进入，热毛细与溶质两项不需分别写入。Stage C 的生产设置中没有单独给定 $d σ / d T$ 的输入项。

切向分量进入了动量方程：σ 常数对照算例与基准算例相比，50 ms 时液态金属的最大流速由 0.143 m/s 降到 0.030 m/s（4.4 节）。

4　Marangoni 力对熔池的作用：本项目仿真

4.1　作用路径

Marangoni 力在自由面上施加剪应力、驱动流动；流动同时搬运熔体、热量与溶质，各自通向一个对象：

熔合边界是金属内部温度等于液相线（本项目取 1771 K）的等温面，两侧同为金属，没有金属/气自由面， $σ$ 在那里不产生力。Marangoni 力只能经由热量输运移动熔合边界。

4.2　自由面上两项应力的量级与方向

取 med 算例每一 $(x, y)$ 列最上面一格金属（ $α > 0.5$ ）为自由面，只统计其中全液相（liqf > 0.99）的格，在每格自己的 $(f, T)$ 上取表的 $(\partial σ / \partial T)_{f}$ 与 $(\partial σ / \partial f)_{T}$ ，乘以沿面梯度（脚本 C）：

	125 ms	250 ms
自由面全液相格数	3143	3554
$T$ 范围（中位）	1729–2264 K（1911 K）	1729–2226 K（1879 K）
$f$ 的 p5–p95（中位）	0.462–0.625（0.515）	0.289–0.415（0.336）
热毛细应力 $∣(\partial σ / \partial T) \nabla_{s} T ∣$ ，面积均值	108–116 Pa	121–130 Pa
溶质应力 $∣(\partial σ / \partial f) \nabla_{s} f ∣$ ，面积均值	170–480 Pa	208–608 Pa
溶质应力 / 热毛细应力	1.6–4.1	1.7–4.7
横向分量指向外侧的占比：热毛细应力	80%–84%	79%–82%
溶质应力	25%–42%	38%–46%
合应力	41%–48%	52%–58%

表中的范围来自三种处理：直接差分，以及先对自由面上的 $T$ 、 $f$ 作 3×3、5×5 格平均再差分。溶质应力随平均窗口增大而下降，说明其中含格子尺度的 $f$ 起伏；5×5 格（约 60 µm × 120 µm）平均后，它仍为热毛细应力的 1.6–1.7 倍。热毛细应力对平均不敏感。「指向外侧」按应力 $y$ 分量的绝对值加权统计， $y$ 分量背离对称面即计为向外。

图 5　熔池自由面上两项应力的方向（示意）。池心热、两侧冷，热毛细应力以向外为主； $f$ 由池心向两侧升高且 $(\partial σ / \partial f)_{T} < 0$ ，溶质应力以向内为主。两项的量级见上表。

观测

热毛细应力以向外为主。按「面积 × $∣ \nabla_{s} T ∣$ × $∣ d σ / d T ∣$ 」加权，温度项中 $d σ / d T > 0$ 的部分占 15.0%（125 ms）与 16.8%（250 ms），落在 1850–2000 K 的温区内（自由面的 $f$ 越高，这一温区越偏高温一侧）。
溶质应力不小于热毛细应力，且以向内为主。由于自由面成分范围内 $(\partial σ / \partial f)_{T} < 0$ ，向内即对应自由面上 $f$ 由池心向两侧升高。
两项合成后，自由面上的横向应力没有占优的方向。

推论：向外为主的热毛细应力与量级相当、向内为主的溶质应力相互抵消，自由面上没有占优的驱动方向。这与 4.3 节中自由面流向来回摆动、切面内没有贯通熔池的涡一致。

4.3　流场的量级与结构（med）

4.3.1　速度随离自由面距离的分布

只取 liqf > 0.5 且 $α > 0.99$ 的液态金属格（混合格的速度是两相的加权平均，会被气相拉低），按离自由面的格号（界面处每格 12 µm）分层，均值 $∣ v ∣$ / (m·s⁻¹)（脚本 F）：

离自由面	0	1	2	3	4	5	6	7	8	≥ 9
125 ms	0.0748	0.0605	0.0445	0.0376	0.0312	0.0285	0.0278	0.0290	0.0285	0.0214
162.5 ms	0.0779	0.0677	0.0557	0.0502	0.0430	0.0410	0.0417	0.0444	0.0441	0.0439
200 ms	0.0913	0.0638	0.0484	0.0416	0.0370	0.0384	0.0377	0.0374	0.0387	0.0391
250 ms	0.1096	0.0772	0.0566	0.0477	0.0449	0.0472	0.0488	0.0509	0.0511	0.0507

自由面那一格的速度中 94%–97% 是沿面分量。

图 6　液态金属格的平均速度随离自由面的格号（med，四个快照）。数据与上表同源（脚本 F）。

观测：各时刻都是自由面层最快。125 ms 时速度随深度一路下降，≥ 9 格的均值为自由面层的 29%；162.5 ms 起，速度在向下 4–5 格（约 50–60 µm）内降到最小，再往下不再下降，250 ms 时回升到 0.051 m/s。自由面层的均值由 0.075 m/s（125 ms）增到 0.110 m/s（250 ms），≥ 9 格的均值由 0.021 m/s 增到 0.051 m/s。

推论：表层约 50–60 µm 内的分布符合自由面剪应力驱动的边界层：表面最快，沿面分量占优，向内衰减。162.5 ms 以后更深处的流动不再随深度衰减，其来源本文未作分解。

4.3.2　自由面横向流的方向

自由面液态格中 $v_{y}$ 背离对称面的比例（脚本 F）：

$t$ / ms	125	162.5	200	250
向外占比	63.1%	43.8%	49.4%	61.1%
带号均值 $v_{y} \cdot sign (y)$ / (m·s⁻¹)	+0.0118	−0.0012	−0.0006	+0.0155
$∣ v_{y} ∣$ 均值 / (m·s⁻¹)	0.0271	0.0285	0.0314	0.0369

观测：向外占比在 44%–63% 之间来回，带号均值在正负之间变换， $∣ v_{y} ∣$ 的均值单调增大。横向流的幅度在增长，方向没有稳定下来。四个时刻不足以判断其中是否有周期。

4.3.3　切面内的涡结构

在液态格最多的横截面（ $y$ – $z$ 面）与对称面（ $x$ – $z$ 面）上计算面内涡量 $ω$ 、面内散度 $div_{2}$ 与 Okubo–Weiss 参数 $W = s_{n}^{2} + s_{s}^{2} - ω^{2}$ （ $W < 0$ 为旋转主导），并统计同号涡量的连通域（先去掉 $∣ ω ∣$ 最弱的 40%，再按四邻连通）：

切面	$t$ / ms	$∣ div_{2} ∣ / ∣ ω ∣$ 中位	$W < 0$ 的面积	同号涡量最大连通域 / 液态面积
横截面	125	0.76	37.0%	13.7%
横截面	162.5	0.67	35.1%	14.2%
横截面	200	0.42	36.3%	15.1%
对称面	125	0.32	40.6%	14.7%
对称面	200	0.43	29.7%	9.9%
对称面	250	0.37	33.5%	17.6%

观测：面内散度为面内涡量的 0.32–0.76 倍；旋转主导的面积占 30%–41%；同号涡量的最大连通域只占液态面积的 10%–18%，正、负涡量各分成 7–29 片。

推论：切面内没有贯通熔池的单一环流。面内散度不小，说明切面内的流不是二维无源流（纵剖面缺 $\partial v / \partial y$ ，横截面缺 $\partial u / \partial x$ ），面内流线不闭合，这个流场不能用流线或闭合涡来描述。

4.3.4　内部的孤立高速格

各快照的单格最大速度为 0.53（125 ms）、1.04（162.5 ms）、0.59（200 ms）、0.88 m/s（250 ms），远高于所在层的均值。按阈值统计四个时刻（脚本 F）：

阈值	占液态格	自身 / 六邻均值（中位）	两格内有糊状格的占比
> 0.2 m/s	0.37%–2.34%	1.24–1.51	28%–55%
> 0.5 m/s	0.008%–0.067%	1.61–2.07	0%–81%

观测：速度越高的格越孤立，不构成连片的射流；它们与糊状区的邻近程度随时刻变化很大，没有稳定的对应关系。

推论：这些单格高速值不代表熔池尺度的流动。本文的流速量级一律取分层均值，不取最大值。

4.4　对照算例：改变 Marangoni 应力后的熔合边界与冠道

四支粗网格算例（界面处 25 µm）的网格、时间步、热源与送粉完全相同，只改表面张力的设置：

支	表面张力的设置	对 Marangoni 应力	熔化自由面上 $σ$ 相对表值
基准	`sigma_bead`：表 $σ (f, T)$	原样	—
σ 常数	常数 1.607249 N/m	消去	高 4%–11%
一律向内	`sigma_bead_inward`：沿温度轴累加表中每一步 $σ$ 变化的绝对值，在 1911 K 与原表对齐	热毛细应力大小逐点不变、方向一律向内；成分依赖在锚点温度处与原表相同	−3% 至 +6%
G = 5	$σ_{eff} = σ_{ref} + 5 (σ_{tab} - σ_{ref})$ ， $σ_{ref} = 1.607249$ N/m	两项都放大 5 倍	低 15%–40%

最后一列按基准算例熔化自由面上的格计算（37.5 ms 与 50 ms；G = 5 一行只取 37.5 ms）（脚本 I）。G = 5 算例在 39.2 ms 停止，只有 37.5 ms 的快照。

结果（脚本 I）：

	基准	σ 常数	一律向内	G = 5
37.5 ms
液态金属最大流速 / (m·s⁻¹)	0.186	0.025	0.125	0.368
熔化自由面横截面流速 $v^{2} + w^{2}$ 均值 / (m·s⁻¹)	0.026	0.008	0.030	0.105
熔化自由面 $v_{y}$ 向外占比	58.7%	29.9%	51.4%	50.0%
$W_{fus}$ / $D_{fus}$ / µm	900 / 100	900 / 100	900 / 100	900 / 100
最大截面熔合面积 / µm²	62 500	61 250	63 750	66 250
冠道面积（中位）/ µm²	32 500	42 500	33 125	31 250
冠道中线高度（中位）/ µm	25.0	50.0	25.0	25.0
冠道宽度（中位）/ µm	1175	1025	1150	1225
50 ms
液态金属最大流速 / (m·s⁻¹)	0.143	0.030	0.162	—
熔化自由面横截面流速均值 / (m·s⁻¹)	0.030	0.006	0.053	—
熔化自由面 $v_{y}$ 向外占比	49.4%	68.8%	23.8%	—
$W_{fus}$ / $D_{fus}$ / µm	1000 / 125	1000 / 125	1000 / 125	—
最大截面熔合面积 / µm²	88 750	85 000	91 250	—
冠道面积（中位）/ µm²	50 625	51 875	49 375	—
冠道中线高度（中位）/ µm	50.0	62.5	50.0	—
冠道宽度（中位）/ µm	1250	1125	1225	—

口径：熔合判据为历史最高温 ≥ 1771 K、 $z < 0$ 的金属格； $W_{fus}$ 、 $D_{fus}$ 为全域按格计的最大宽度与深度（宽度步长 50 µm，深度步长 25 µm）；最大截面熔合面积为各横截面熔合面积（镜像为全截面，一格合 1250 µm²）的最大值；冠道三量取光斑已离开至少 0.2 mm 的各截面上 $z > 0$ 且 $f > 0.01$ 的金属格，给出面积、中线（ $y = 0$ 列）高度与横向宽度的中位数。

适用范围：这是 25 µm 网格上前 50 ms 的同一时刻配对比较。截面的熔合几何在光斑经过约 42 ms 后才定型（D27_熔合几何的定型期与稳态判据），50 ms 时只有光斑最初经过的约 0.15 mm 已定型；上表是瞬时读数，不是定型值。

观测

流动随设置明确变化：消去 Marangoni 应力后，最大流速降 79%–87%，横截面流速降 71%–80%；一律向内使 50 ms 时的向外占比由 49% 降到 24%，横截面流速增 79%；G = 5 使 37.5 ms 时的横截面流速增到基准的 4 倍。
熔合边界：四支的 $W_{fus}$ 、 $D_{fus}$ 在两个时刻都逐格相同。最大截面熔合面积与横截面流速同序：37.5 ms 时 σ 常数 < 基准 < 一律向内 < G = 5（61 250 → 66 250 µm²），50 ms 时 σ 常数 < 基准 < 一律向内（85 000 → 91 250 µm²）；相对基准的差为 −4.2% 至 +6.0%，即 1–3 格。
冠道：消去 Marangoni 应力后冠道变窄（37.5 ms 与 50 ms 分别窄 150 µm 与 125 µm）、中线变高（分别高 25 µm 与 12.5 µm）；冠道面积的变化在两个时刻不一致（+31% 与 +2.5%）。一律向内与 G = 5 对冠道宽度的改变不超过 50 µm。

推论（限于 25 µm 网格与前 50 ms）

Marangoni 应力的大小与方向显著改变了熔池流动，但熔合边界的位置变化在一格以内；熔合面积随流动增强略有增大，幅度为几个百分点。
去掉 Marangoni 应力使冠道变窄、变高。同一对照把法向项提高了 4%–11%；毛细力使截面趋于圆弧，更高的 $σ$ 也应使冠道变窄、变高。两者方向相同，本组对照分不开它们各自的份额。
定型熔池（光斑经过 42 ms 以后）上的对照、med 网格上的对照尚未进行；G = 5 需要跑到 50 ms 以上。

4.5　与热毛细方腔的对照

方腔与熔池使用同一张表、同一个 UDF 与同一套 VOF 表面张力设置（脚本 C、D、E）：

	热毛细方腔	med 熔池
热毛细应力	134 Pa（沿面 $∣ d σ / d T ∣$ 均值 $1.70 \times 1 0^{- 4}$ × 算例中读出的沿面梯度 $7.86 \times 1 0^{5}$ K/m）	108–130 Pa（4.2 节）
溶质应力	无（ $f$ 均匀）	热毛细应力的 1.6–4.7 倍，以向内为主
$d σ / d T > 0$ 的部分	1850–1925 K，位于距冷壁 22%–41% 腔长处，占沿面温区的 19%	占热毛细应力的 15%–17%（1850–2000 K）
表面流速	沿面均值 0.298 m/s， $x = 255$ µm 处 0.402 m/s	自由面层均值 0.075 m/s（125 ms）→ 0.110 m/s（250 ms）
流动结构	单一环流，沿 $x$ 零变号	方向来回摆动，没有贯通熔池的涡

方腔的流速与沿面梯度取自 05_算例/M_thermocap_dz12/记录.md。

观测：两者的热毛细应力同量级，熔池自由面层流速是方腔沿面均值的 1/4 到 1/2.7。

推论：两者的驱动不同。熔池除热毛细应力外还有量级更大、以向内为主的溶质应力，合应力没有占优方向（4.2 节）；熔池还有方腔没有的糊状区阻尼、变形的自由面、送粉的质量源、反冲压力与扫描运动。一律向内对照（4.4 节）表明， $∣ d σ / d T ∣$ 不变而只改变应力的方向结构，横截面流速就变化 79%。熔池流速低于方腔，驱动结构与熔池特有的阻力两方面都有贡献，现有数据分不开两者的份额。

4.6　佩克莱数 $P e$

$P e$ 比较熔池尺度上对流与导热搬运热量的快慢：

P e = \frac{uL}{a _{th}}, a_{th} = \frac{k}{ρ c _{p}}

$u$ 为特征流速， $L$ 取熔池半宽 500 µm， $a_{th}$ 为热扩散率。由物性表在 $f = 0.3232$ 、1900 K 处的值（ $k = 36.114$ W/(m·K)、 $ρ = 6975.1$ kg/m³、 $c_{p} = 810.1$ J/(kg·K)）得 $a_{th} = 6.391 \times 1 0^{- 6}$ m²/s， $a_{th} / L = 0.0128$ m/s（脚本 E）：

来源	$u$ / (m·s⁻¹)	$P e$
med 自由面层均值，125 / 162.5 / 200 / 250 ms	0.075 / 0.078 / 0.091 / 0.110	5.9 / 6.1 / 7.1 / 8.6
粗网格对照横截面流速均值，σ 常数 / 基准 / 一律向内（50 ms）	0.006 / 0.030 / 0.053	0.5 / 2.3 / 4.2
粗网格 G = 5 横截面流速均值（37.5 ms）	0.105	8.2
热毛细方腔，沿面均值 / $x = 255$ µm	0.298 / 0.402	23 / 31

$P e$ 在 1 到 10 之间，表示对流搬运热量的速率与导热相当，或为导热的数倍：对流不可忽略，也不压倒导热。 $P e$ 的值依赖于 $u$ 与 $L$ 的取法：这里 $u$ 取分层均值，若取单格最大值会高出一个量级。

「 $P e$ 达到多少时表面流的方向开始决定熔合边界」这一阈值，本项目没有标定，也没有采用文献值； $P e$ 在本文中只描述量级。熔合边界是否响应由 4.4 节的对照算例判定：在 $P e$ 0.5–8.2 的范围内，熔合宽深在一格以内不变，熔合面积变化几个百分点。

同一组物性下，温度驱动的马兰戈尼数 $M a_{T} = ∣ d σ / d T ∣ Δ T L / (μ a_{th})$ （ $μ = 4.746 \times 1 0^{- 3}$ Pa·s， $Δ T$ 取自由面温差 535 K 与 497 K）为 $1.3 \times 1 0^{3}$ （125 ms）与 $1.5 \times 1 0^{3}$ （250 ms）；用带号的净 $d σ / d T$ 则为 $0.8 \times 1 0^{3}$ 与 $0.95 \times 1 0^{3}$ （脚本 E）。

4.7　溶质输运与凝固后的成分分布

4.7.1　迹线的集合统计

迹线是物质点在非定常速度场中的轨迹，即初值问题 $d X / d t = u (X (t), t)$ 、 $X (t_{0}) = X_{0}$ 的解。熔池全程在长大，即使在随光斑运动的坐标系中流场也不定常，所以不能以流线代替迹线。

离散：速度只在 20 份快照（间隔 12.5 ms）的格心上有值；空间三线性插值， $y < 0$ 半域按对称面镜像并令 $v$ 反号；时间在相邻快照之间线性插值；显式中点法（RK2）积分；插值得到的液态指标（ $α > 0.5$ 且 liqf > 0.5）降到 0.5 以下即停止。种子在 130、170、210 ms 三个时刻释放，每批在光斑后方 0.15–0.35 mm、 $y = 0$ –520 µm 的 13 个横向位置与 $z = - 10$ 、−70、−140 µm 三个高度上各放一个，共 117 个，保留走满 8 步以上的 96 条（脚本 G）。

按释放高度分组（步长 0.1 ms；改用 0.05 ms 时，下表各中位数的变化不超过 4 µm 与 3.3 ms）：

释放高度 $z_{0}$ / µm	条数	存活时间中位 / ms	向下行程中位 / µm	最低点 $z$ 中位 / µm	横向换向 ≥ 2 次
−10	39	26.3	33	−43	87%
−70	35	31.7	25	−95	94%
−140	22	40.0	17	−157	95%

观测：近表面释放的物质点中位向下 33 µm，到达 $z \approx - 43$ µm；深处释放的点竖向行程更小（17–25 µm）；绝大多数迹线横向换向两次以上。

限度：快照间隔内一个 0.05 m/s 的微团移动约 625 µm，与熔池半宽同量级，单条迹线的具体走向取决于时间插值，不具有意义；上表是对积分步长收敛的集合统计。要使单条迹线可信，快照间隔需减到约 0.25 ms，即微团在其间只移动一格。

4.7.2　凝固后横截面的成分

250 ms 时三个已凝固截面上，熔化过的金属格的 CCN 占比 $f$ 沿深度的分布（脚本 H）：

截面 $x$ / mm（光斑经过后的时间）	$z > 48$ µm	0–48 µm	−48–0 µm	−96–−48 µm	−150–−96 µm	截面均值
3.300（152 ms）	0.389	0.379	0.334	0.320	0.306	0.350
3.588（136 ms）	0.367	0.350	0.305	0.293	0.280	0.320
3.900（119 ms）	0.344	0.335	0.300	0.301	0.293	0.316

图 7　凝固后三个截面熔过金属的平均 $f$ 沿深度（med，250 ms）。每个点是上表一个深度带的均值，画在该带的中点；数据与上表同源（脚本 H）。

观测： $f$ 自上而下减小，顶部与底部相差 0.05–0.09，为截面均值的 16%–27%；熔池底部同样含 CCN（ $f = 0.28$ –0.31）。

推论：表面流把送入的 CCN 带入熔池，但在液态存续的时间内未混匀，凝固后留下自上而下的成分梯度。

5　硫、氧等元素对 Marangoni 力的作用

5.1　吸附热力学与 Sahoo 式

纯金属的 $σ$ 是单位面积的表面过剩自由能， $d σ / d T = - S^{σ}$ （ $S^{σ}$ 为表面过剩熵），为负值，所以纯金属的热毛细应力由热区指向冷区，自由面流动向外。

表面活性溶质改变这一点。由 Gibbs 吸附等温式，等温下表面过剩量 $Γ_{i} = - (1/ RT) (\partial σ / \partial ln a_{i})$ ，在表面富集的溶质（ $Γ_{i} > 0$ ）必然降低 $σ$ ；S、O、Se、Te 在液态铁中属于这一类。以 Langmuir 单层吸附 $θ = Γ/ Γ_{s} = K a / (1 + K a)$ 、 $K = k_{1} exp (- Δ H^{\circ} / RT)$ 闭合并积分，Belton 得到 $σ^{\circ} - σ = RT Γ_{s} ln (1 + K a)$ ⁴；Sahoo、DebRoy 与 McNallan 加上纯金属的线性项，写成¹

σ = σ_{m}^{\circ} - A (T - T_{m}) - RT Γ_{s} ln [1 + k_{1} a e^{- Δ H^{\circ} / RT}]

$Γ_{s}$ 为饱和表面过剩量， $k_{1}$ 为与吸附熵有关的常数， $Δ H^{\circ}$ 为标准吸附焓， $a$ 为溶质活度。对 $T$ 求导（原文式 [11]，取溶质的偏摩尔混合焓为零）：

\frac{d σ}{d T} = - A - R Γ_{s} ln (1 + K a) - \frac{K a}{1 + K a} \frac{Γ _{s} Δ H ^{\circ}}{T}

吸附放热， $Δ H^{\circ} < 0$ ，第三项为正：温度升高使吸附的溶质脱附， $σ$ 回升。覆盖度低时第三项可以超过 $A$ ，于是 $d σ / d T$ 在低温一侧为正、高温一侧为负；变号温度随活度升高而升高。原文指出，氧低于约 0.002 wt% 时，Fe–O 的 $d σ / d T$ 在焊接熔池中实际上处处为负；含量更高时， $d σ / d T$ 可在熔池表面某处过零，此时熔池流动比单一环流复杂得多¹。

原文由 Fe–S、Fe–O 的表面张力数据拟合出的参数（原文表 II、表 III 与式 [7]；原文 $Γ_{s}$ 以 kg·mol/m² 计，此处换算为 mol/m²）：

体系	$σ_{m}^{\circ}$ / (N·m⁻¹)	$A$ / (N·m⁻¹·K⁻¹)	$Γ_{s}$ / (mol·m⁻²)	$k_{1}$	$Δ H^{\circ}$ / (J·mol⁻¹)	活度的取法
Fe–S	1.943	$4.3 \times 1 0^{- 4}$	$1.30 \times 1 0^{- 5}$	$3.18 \times 1 0^{- 3}$	$- 1.66 \times 1 0^{5}$	$a_{S}$ = wt% S
Fe–O	1.943	$4.3 \times 1 0^{- 4}$	$2.03 \times 1 0^{- 5}$	$1.38 \times 1 0^{- 2}$	$- 1.463 \times 1 0^{5}$	$a_{O}$ = wt% O

$T_{m} = 1809$ K。两组参数都来自二元体系，活度系数取 1；原文另以近似方法估计了 Co–S、Ni–S 与 Cr–O，未给出含 Cr 多元熔体的参数。

5.2　硫：本项目的表与 Sahoo 式

本项目自由面的 $f$ 中位为 0.34–0.52（4.2 节），对应 S 为 43–60 ppm。按 Sahoo Fe–S 式（ $a_{S}$ 取 wt% S）， $d σ / d T$ 的变号温度为（脚本 B）：

$f$	0	0.25	0.3232	0.40	0.50	0.60
S / ppm	90	67.5	60.9	54	45	36
变号温度 / K	1949	1905	1889	1871	1845	1813

即 Sahoo 式在本项目的硫含量下给出：从液相线到约 1850–1890 K 的一圈 $d σ / d T$ 为正（向内），位于熔池外缘较冷处。若以 Sahoo 式的 $d σ / d T$ 代替表值，按 med 自由面上的温度梯度加权，这一圈占热毛细应力的 13.6%（125 ms）与 39.4%（250 ms）（脚本 C）。

表中硫的作用弱得多。取 Thermo-Calc 同一数据库、同一 $f$ 下含硫与不含硫的计算相减（原始数据/物性计算/P2_液态物性/P2_sigmaS_TCFE15.csv；脚本 B）：

$f$	$T$ / K	$Δ σ_{S}$ / (N·m⁻¹)：TCFE15 ｜ Sahoo	对 $d σ / d T$ 的贡献 / (N·m⁻¹·K⁻¹)：TCFE15 ｜ Sahoo
0	1800	−0.011 ｜ −0.206	$+ 1.3 \times 1 0^{- 4}$ ｜ $+ 6.7 \times 1 0^{- 4}$
0	1900	−0.003 ｜ −0.147	$+ 3.8 \times 1 0^{- 5}$ ｜ $+ 5.0 \times 1 0^{- 4}$
0.25	1800	−0.006 ｜ −0.171	$+ 6.6 \times 1 0^{- 5}$ ｜ $+ 6.1 \times 1 0^{- 4}$
0.25	1900	−0.002 ｜ −0.119	$+ 2.0 \times 1 0^{- 5}$ ｜ $+ 4.4 \times 1 0^{- 4}$

TCFE15 中硫使 $σ$ 降低的量是 Sahoo 式的 1/20–1/70，对 $d σ / d T$ 的正贡献是它的 1/5–1/22，小于纯金属项 $A$ ，所以表中硫单独不能使 $d σ / d T$ 变号。

两者描述同一种元素，差别来自模型：Sahoo 的参数由二元 Fe–S 表面张力数据拟合，活度取质量分数；TCFE15 用多元溶液热力学处理含 Cr、Mn、Ni、Co 的熔体，但它对这类熔体中硫吸附的描述没有经过表面张力实测的检验。与本体系最接近的吸附实测是 McNallan 与 DebRoy 对含硫 Fe–Ni–Cr 合金的测量⁵。

5.3　氧：本项目的表与 Sahoo 式

表中氧的作用由两部分组成（2.2 节）：溶解氧的吸附降低 $σ$ ；溶解氧的量随温度变化，低温下部分氧存在于尖晶石中，温度更高时平衡计算中出现气相、溶解氧下降（ $f = 0.50$ 时自 1940 K 起）。含氧与无氧计算相减（同一 $f$ ，TCFE15）得到氧的作用（脚本 B）：

$f = 0.50$ ， $T$ / K	1750	1800	1900	1920	2000	2100	2200
溶解氧 / ppm	63	95	201	210	166	129	107
$Δ σ_{O}$ ，TCFE15 / (N·m⁻¹)	−0.065	−0.064	−0.058	−0.051	−0.021	−0.007	−0.003
$Δ σ_{O}$ ，Sahoo Fe–O（ $a_{O}$ = 溶解氧 wt%）	−0.328	−0.364	−0.438	−0.430	−0.311	−0.203	−0.135

图 8　硫（a）与氧（b）使 $σ$ 改变的量。实线为 TCFE15（同一 $f$ 下含与不含该元素的计算相减），虚线为 Sahoo 二元式（同一硫含量，或同一溶解氧）。数据与 5.2、5.3 节的表同源（脚本 B）。

表中 1920–2000 K 之间 $Δ σ_{O}$ 由 −0.051 回升到 −0.021 N/m，使该温区 $d σ / d T > 0$ 。这一回升来自溶解氧的减少（平衡计算中氧进入气相），不是 Langmuir 式的脱附；它以氧在毫秒量级内达到平衡为前提，若脱氧来不及进行，这一温区不出现。抑制该温区只使自由面上的净驱动变化 1.1%（D19_氧把向外的马兰戈尼驱动砍掉一半，75 ms 快照）。
在相同的溶解氧下，Sahoo Fe–O 式使 $σ$ 降低的量是 TCFE15 的 5–50 倍。按 Sahoo 式，溶解氧为 50、100、150、200 ppm 时 $d σ / d T$ 的变号温度为 1981、2117、2203、2268 K，即 med 自由面（1729–2264 K）的大部分为正 $d σ / d T$ 。
含 Cr 钢的实测：Choe 等报道 430 不锈钢在 1823 K 下，含氧 7 ppm 时 $σ = 1.802$ N/m（电磁悬浮法），含氧 60 ppm 时 1.614 N/m（座滴法），相差 0.19 N/m（数值据其摘要）⁶。同样条件下 Sahoo Fe–O 式给出的差为 0.21 N/m；TCFE15 在 $f = 0.25$ –0.50、溶解氧 49–201 ppm 的范围内给出的降幅为 0.06–0.07 N/m。两组实测来自不同的测量方法，但这一对照表明，表中氧的作用处在已有证据的弱端。
悬浮法实测表明，熔铁与不锈钢的 $σ$ 及其温度系数随气氛氧分压变化， $d σ / d T$ 的符号可随之翻转（据其摘要）⁷。

推论：氧是本项目 Marangoni 应力方向上不确定性最大的一项。若熔池中氧的表面活性接近二元 Fe–O 或 430 钢的实测，热毛细应力中向内的部分将远大于表中的 15%–17%。确定这一项需要含氧量受控的 CoCrNi–Fe（至少是 Fe–Cr–Ni–O）熔体的 $σ (T)$ 实测；Lee、Yamamoto 与 Morita 对 1823 K 下 Fe–Cr–O 熔体的测量⁸、Mukai 等对 Fe–16%Cr–O 的测量⁹是最接近的已有数据。

5.4　其他元素

氮：粉末含 N 80 ppm。同一 Thermo-Calc 条件下（TCFE15 与 TCHEA8 结果相同），加入氮使 $σ$ 降低 0.12%，同一点上氧的作用为 2.5%；表中未计入氮（D19_氧把向外的马兰戈尼驱动砍掉一半第八节）。
铬：Keene 的评述指出，VI 族元素（Cr、Mo、W）在铁中表面活性高，这些合金的表面张力温度系数为正（据其摘要）¹⁰；Mori 等在 Fe–Ni–Cr 合金中测得 $σ$ 主要由 Cr 含量决定、Cr 在表面富集（据其摘要）¹¹；Costa 等的评估中 Cr 在 Co–Cr–Ni 熔体表面优先偏聚²。本项目中 Cr 的作用包含在表对 $f$ 的依赖中（CoCrNi 中 Cr 约占 31 wt%）： $σ$ 对 $f$ 非单调，1900 K 时在 $f = 0.75$ 处最低（2.2 节）。

6　Marangoni 力对熔池形貌与流动的作用：文献与本项目

6.1　表面流方向与熔池形貌

表面流的方向由 $σ$ 沿自由面的变化方向决定。 $d σ / d T < 0$ 时，表面流由热中心流向池缘，把热量带向两侧，熔池宽而浅； $d σ / d T > 0$ 时，表面流汇向中心并下沉，把热量带到光斑正下方，熔池窄而深。Heiple 与 Roper 由 GTA 焊缝熔深实验提出这一机制：微量表面活性元素（S、O、Se）使 $d σ / d T$ 由负转正，表面流由向外转为向内，同一工艺参数下熔深显著增大¹²。

图 9　表面流方向与熔池形貌（Heiple–Roper 机制，示意）。(a) $d σ / d T < 0$ ：表面流向外，热量被带向两侧，熔池宽而浅；(b) $d σ / d T > 0$ ：表面流汇向中心并下沉，热量被带到光斑正下方，熔池窄而深。

Gan 等研究了 Co 基粉末同轴送粉 DED 在含硫 0.04 wt% 的 38MnVS 钢上的沉积¹³：以单独的硫输运方程与 Sahoo 式计算表面张力，熔池表面的 $d σ / d T$ 在 $- 3 \times 1 0^{- 4}$ 到 $+ 2 \times 1 0^{- 4}$ N/(m·K) 之间。沉积初期硫高、温度低， $d σ / d T > 0$ ，内向流形成中心深熔；随粉末稀释硫、温度升高，表面越过 $d σ / d T = 0$ 的转变线，流动转为外向，熔池变宽变浅。送粉率低时全程为内向流，送粉率高时发生反转；功率由 600 W 升到 800 W，流向同样由内转外。他们给出的形貌判据是：内向流的熔合边界出现拐折与中心深熔区，外向流的熔合边界是光滑的凸圆弧。该实验在氧低于 1 ppm 的氩气箱中进行，未计入氧的作用。

本项目基板含硫 90 ppm，为 38MnVS 的 1/4.4，自由面上稀释到 43–60 ppm；氧由粉末带入（5.3 节）。

6.2　表面流强度与形貌改变的程度

流动改变熔池形貌的程度取决于对流搬运热量相对导热的强弱。Gan 等对 Co 基合金在钢上的直接激光沉积算得发展后的最大流速超过 0.5 m/s、热佩克莱数约为 100¹⁴；Li 等对 Co 基粉末 L-DED 算得热毛细应力峰值约 350 Pa、毛细压力约 1200 Pa¹⁵。

本项目自由面热毛细应力的面积均值（108–130 Pa）与之同量级；自由面层的平均流速为 0.075–0.110 m/s， $P e$ 为 6–9（4.6 节），比 Gan 等的热佩克莱数低约一个量级（两者所取的特征流速不同，本文取自由面层均值）。在 25 µm 网格、前 50 ms 的对照中，去掉、反转或放大 5 倍 Marangoni 应力，熔合宽深的变化都在一格以内，熔合面积变化几个百分点（4.4 节）。

6.3　两类驱动并存时的流动结构

Sahoo 等指出，当表面活性元素使 $d σ / d T$ 在熔池表面某处过零时，熔池流动比单一环流复杂得多¹。异种材料沉积中还有溶质应力：Hu 等在不锈钢与镍的激光异种焊中把自由面剪应力写成温度与成分两项之和， $σ$ 随成分线性变化¹⁶。

本项目两者兼有：表中 $d σ / d T$ 在 1850–2000 K 为正（来自氧），溶质应力与热毛细应力同量级、方向以向内为主（4.2 节）。仿真中自由面横向流的方向在 44%–63% 向外之间摆动，切面内没有贯通熔池的涡（4.3 节），与两类相互竞争的驱动并存的情形一致。

6.4　冠道与成分分布

表面流把熔体带向它流去的方向，从而改变冠道截面。本项目的 σ 常数对照中，去掉 Marangoni 应力后冠道窄 125–150 µm、中线高 12.5–25 µm（4.4 节）；同一对照把法向项提高了 4%–11%，两者作用方向相同，分不开。

流动也决定稀释区内的成分分布。Gan 等在 Co 基合金沉积的熔池底部观察到未混合区¹⁴；Li 等讨论了表面张力驱动的流动与稀释的关联¹⁵。本项目凝固后的截面上， $f$ 自上而下由 0.34–0.39 降到 0.28–0.31（4.7 节）。

6.5　尚待判定的事项

定型熔池上的 Marangoni 作用：需要 med 网格的 σ 常数对照，以及 G = 5 跑到光斑经过 42 ms 以后的完整运行。
氧的表面活性强度（5.3 节）：需要含氧量受控的 CoCrNi–Fe 或 Fe–Cr–Ni–O 熔体的 $σ (T)$ 实测。
熔池流速低于同等热毛细应力下方腔流速的原因（4.5 节）：驱动结构与熔池特有的阻力需要分开检验。
形貌判据的实测检验：按 Gan 等的判据（6.1 节）检查 0822 口径金相熔合线是否出现拐折与中心深熔区，可在不增加算例的情况下判断实际熔池中哪个方向的表面流占优。

参考文献

Sahoo P., DebRoy T., McNallan M.J. Surface tension of binary metal—surface active solute systems under conditions relevant to welding metallurgy. Metallurgical Transactions B 19B (1988) 483–491. doi:10.1007/BF02657748（原文 PDF：upload/2026-08-05_Sahoo表面张力吸附模型.pdf）
Costa C., Delsante S., Borzone G., Živković D., Novaković R. Thermodynamic and surface properties of liquid Co–Cr–Ni alloys. Journal of Chemical Thermodynamics 69 (2014) 73–84. doi:10.1016/j.jct.2013.09.034
Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension. Journal of Computational Physics 100 (1992) 335–354.
Belton G.R. Langmuir adsorption, the Gibbs adsorption isotherm, and interfacial kinetics in liquid metal systems. Metallurgical Transactions B 7B (1976) 35–42. doi:10.1007/BF02652817
McNallan M.J., DebRoy T. Effect of temperature and composition on surface tension in Fe-Ni-Cr alloys containing sulfur. Metallurgical Transactions B 22 (1991) 557–560. doi:10.1007/BF02654294
Choe 等. Surface tension measurements of 430 stainless steel. ISIJ International 54 (2014) 2104. doi:10.2355/isijinternational.54.2104
Ozawa 等，2011，doi:10.1063/1.3527917；Ozawa 等，ISIJ International 54 (2014) 2097，doi:10.2355/isijinternational.54.2097；Hibiya 等，2009，doi:10.1007/s10853-009-4107-2。三者均为氧分压对熔铁或不锈钢表面张力及其温度系数的悬浮法测量。
Lee、Yamamoto、Morita，Metallurgical and Materials Transactions B，2005，doi:10.1007/s11663-005-0025-0。内容为液态 Fe–Cr–O 在 1823 K 的表面张力。
Mukai 等，Materials Transactions 43 (2002) 1724，doi:10.2320/matertrans.43.1724。内容为 Fe–16%Cr–O 熔体的表面张力与润湿。
Keene B.J. Review of data for the surface tension of iron and its binary alloys. International Materials Reviews 33 (1988) 1. doi:10.1179/imr.1988.33.1.1
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Gan Z., Yu G., He X., Li S. Surface-active element transport and its effect on liquid metal flow in laser-assisted additive manufacturing. International Communications in Heat and Mass Transfer 86 (2017) 206–214. doi:10.1016/j.icheatmasstransfer.2017.06.007
Gan Z., Yu G., He X., Li S. Numerical simulation of thermal behavior and multicomponent mass transfer in direct laser deposition of Co-base alloy on steel. International Journal of Heat and Mass Transfer 104 (2017) 28–38. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.08.049
Li Z., Yu G., He X., Li S., Shu Z. Surface tension-driven flow and its correlation with mass transfer during L-DED of Co-based powders. Metals 12 (2022) 842. doi:10.3390/met12050842
Hu Y., He X., Yu G., Ge Z., Zheng C., Ning W. Heat and mass transfer in laser dissimilar welding of stainless steel and nickel. Applied Surface Science 258 (2012) 5914–5922. doi:10.1016/j.apsusc.2012.02.143

文献的核对情况：Sahoo 等（1988）已读原文；Gan 等（2017 两篇）、Hu 等（2012）、Li 等（2022）、Costa 等（2014）的全文于 2026-09-13 读过，要点记在 07_文档/文献/马兰戈尼_表面张力_研究脉络_2026-09-13.md 第九节；标注「据其摘要」的数值与结论只核对过摘要；Brackbill 等（1992）、Belton（1976）、Heiple 与 Roper（1982）按其通行的引述引用，Belton 与 Heiple–Roper 两篇同见于 Sahoo 等原文的参考文献表。

0 范围与数据

1 Marangoni 力的由来

1.1 表面张力是线张力

1.2 面力密度的两个分量

1.3 两个分量的来源与作用对象

1.4 Marangoni 力是表面张力的切向分量

2 ∇s​σ 的构成

2.1 温度项与成分项

2.2 表面张力表 LIQ_SIGMA

2.3 表的外部核对

3 Marangoni 力在 VOF 模型中的实现

3.1 弥散界面与连续表面力

3.2 给求解器的是 σ(f,T)

4 Marangoni 力对熔池的作用：本项目仿真

4.1 作用路径

4.2 自由面上两项应力的量级与方向

4.3 流场的量级与结构（med）

4.3.1 速度随离自由面距离的分布

4.3.2 自由面横向流的方向

4.3.3 切面内的涡结构

4.3.4 内部的孤立高速格

4.4 对照算例：改变 Marangoni 应力后的熔合边界与冠道

4.5 与热毛细方腔的对照

4.6 佩克莱数 Pe

4.7 溶质输运与凝固后的成分分布

4.7.1 迹线的集合统计

4.7.2 凝固后横截面的成分

5 硫、氧等元素对 Marangoni 力的作用

5.1 吸附热力学与 Sahoo 式

5.2 硫：本项目的表与 Sahoo 式

5.3 氧：本项目的表与 Sahoo 式

5.4 其他元素

6 Marangoni 力对熔池形貌与流动的作用：文献与本项目

6.1 表面流方向与熔池形貌

6.2 表面流强度与形貌改变的程度

6.3 两类驱动并存时的流动结构

6.4 冠道与成分分布

6.5 尚待判定的事项